In this thesis, a matrix-collocation method is applied to obtain the approximate solutions of ordinary differential equations, delay differential equations, systems of ordinary differential equations, systems of proportional delay differential equations and systems of delay differential equations which take an important place in physiscs, chemists, biology and engineering by using Müntz-Legendre polynomials. In the method, the functions and the coefficients in the problem are represented in the matrix form and the problem is reduced into an algebraic equations system. Then this algebraic system is solved by a code written in MATLAB in order to find approximate solutions. Besides by using residual function, an error analysis has been done to improve the approximate solutions. This study consists of five sections. In the first section, general information about the origin of differential equations and usage of those and the aim of this study is given. In the second section, general information, a short summary of literature, the methods which are used previously, fundamental definitions about the delay differential equations, Müntz-Legendre polynomials, other special polynomials and error analysis are introduced. In the third section, matrix-collocation method is given for each kind of problem in details such as matrix relations, solution method and error analysis. In the fourth section, numerical examples are given for each kind of problem and the results are shown in tables and figures. On the other hand actual absolute error, estimated absolute error and corrected (improved) errors are compared in tables. Finally, in the fifth section, a conclusion and suggestions are given. The results which are obtained in this study, show that the method works truely and effectively on the problems.

Bu tez çalışmasında fizik, kimya, biyoloji, mühendislik gibi birçok alanda önemli yer tutan adi diferansiyel denklemlerin, gecikmeli diferansiyel denklemlerin, adi diferansiyel denklem sistemlerinin, oransal gecikmeli diferansiyel denklem sistemlerinin ve gecikmeli diferansiyel denklem sistemlerinin yaklaşık çözümlerini elde etmek amacıyla Müntz-Legendre polinomlarına dayalı bir matris-sıralama yöntemi uygulanmıştır. Yöntemde öncelikle problemde yer alan fonksiyonlar ve katsayılar matris formuna getirilerek, problem bir cebirsel denklem sistemine indirgenmiştir. Bu denklem sistemi de MATLAB programı yardımıyla ele edilen bir kod ile çözülerek, problemin yaklaşık çözümlerine ulaşılmıştır. Ayrıca rezidüel fonksiyon yardımıyla hata analizi de yapılarak yaklaşık çözümlerin iyileştirilmesi sağlanmıştır. Çalışma beş bölümden oluşmakta olup, birinci bölümde diferansiyel denklemlerin ortaya çıkışı ve kullanım alanları ile ilgili genel bilgiler verilerek bu tez çalışmasının amacı üzerinde durulmuştur. İkinci bölümde genel bilgiler yer almakta olup, bu bölümde kaynak özetleri, daha önce kullanılmış yöntemler, gecikmeli diferansiyel denklemler ile ilgili temel kavramlar, Müntz-Legendre polinomları, bazı özel polinomlar ve hata analizi tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde ise matris-sıralama yöntemleri tanıtılarak, her bir problem çeşidi için matris bağıntıları, çözüm yöntemi ve hata analizi açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, her bir problem çeşidi için nümerik örnekler verilerek, sonuçlar tablo ve grafikler halinde gösterilmiştir. Ayrıca gerçek mutlak hata, tahmini mutlak hata ve düzeltilmiş(iyileştirilmiş) mutlak hatalar tablolar halinde karşılaştırılmıştır. Son olarak beşinci bölümde ise sonuç ve öneriler yer almaktadır. Elde edilen bulgular yöntemin, problemler üzerinde doğru ve etkili bir biçimde çalıştığını göstermektedir.