The inviscid Burgers equation is an important model in computational fluid dynamics,and represents one of the simplest example for a nonlinear hyperbolic conservationlaw. Recently, several relativistic and non-relativistic generalizations of the classicalBurgers equation have been introduced by LeFloch and collaborators, by identifyinga hyperbolic balance law by the Euler equations of relativistic compressible fluids.Both the model and the classical Burgers equations are obtained from derivation ofthe Euler system of relativistic compressible fluids by considering vanishing pressureon a curved background. The relativistic generalization of the model is consideredon different curved spacetimes, in particular on Minkowski (flat) and Schwarzshildspacetimes. In this thesis we consider the Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker(FLRW) background. Since both Schwarzshild and FLRW metric are the solutions ofEinstein field equations, this common property inspired us to derive a relativistic versionof Burgers equation on FLRW background as it is done on Schwarzshild spacetime.The relativistic Burgers equation on this spacetime is obtained from the Eulersystem of relativistic compressible fluids. Firstly, Christoffel symbols and tensors forperfect fluids on FLRW background are calculated. Then, by using divergence of thetensors, the Euler equations are obtained. Next, we impose the pressure to be zero onthis Euler system as it is carried out in the flat and Schwarzshild spacetimes. Finally,by combining the equations derived by the Euler system, we obtain the desired relativisticBurgers equation on FLRW background. A particular case of the concerningequation gives exactly the classical Burgers equation which is a common propertyshared by relativistic equations. Different from the flat and Schwarzshild spacetimescases, some special types of solutions which are spatially homogeneous are found forthe concerning equation, which provides an originality to this study. Next, the limitingproperties of the relativistic Burgers equation on FLRW background and spatiallyhomogeneous solutions are examined. For the numerical experiments we constructa Godunov type of scheme which solves the Riemann problem on each grid cell. Inaddition, a well-balanced scheme is constructed for investigating the limiting propertiesof the homogeneous solutions in detail. The numerical schemes are developed byusing the finite volume methodology which are formulated for curved spacetimes in[2], [37] and [38]. These numerical schemes allow to capture discontinuous solutionscontaining shock waves for the relativistic Burgers equation. Finally, we observe thatthe proposed scheme is well-balanced, in the sense that it preserves all spatially homogeneoussolutions and the numerical experiments illustrate the convergence of thescheme on a FLRW background.

Klasik Burgers denklemi hesaplanılabilir sıvılar dinamiğinde önemli bir modeldir vehiperbolik korunum kanunlarına en basit örneklerden biri olarak gösterilebilir. Yakınzamanda LeFloch ve meslektaşları tarafından, sıkıştırılabilir rölativistik Euler denklemlerikullanılarak hiperbolik denge kanununa uyan rölativistik ve rölativistik olmayanBurgers denklemleri olarak adlandırılan yeni modeller elde edilmiştir. Bu modellerinve klasik Burgers denkleminin, kıvrık uzayzamanlarında basınç sıfır alınaraksıkıştırılabilir rölativistik Euler denklemlerinden elde edilebilir olduğu da gösterilmiştir.Ayrıca bu modellerin rölativistik genellemeleri, değişik kıvrık uzayzamanlarında(Minkowski ve Schwarzshild uzayzamanlarında) ele alınmıştır. Bu tezde uzayzamanıolarak Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) ele alındı. Schwarzshild veFLRW metriklerinin, Einstein alan denklemlerinin çözümü olmaları, Schwarzshilduzayzamanında olduğu gibi FLRW uzayzamanında da Burgers denklemini elde etmemizeilham kaynağı oldu. Benzer tekniklerin izlenmesi sonucunda FLRW uzayzamanındaBurgers denklemi, sıkıştırılabilir sıvılar için Euler sistemleri kullanılarakelde edildi. Bu sebeple ilk olarak Christoffel semboller, sıkıştırılabilir sıvılar için tensörlerhesaplandı ve böylece tensörlerin ıraksaması kullanılarak Euler denklemlerineulaşıldı. Bunu takiben, daha önceki uzayzamanlarında (Minkowski ve Schwarzshild)olduğu gibi Euler sistemi üzerinde basınç sıfır olarak kabul edildi. Son olarak,basıncın sıfır olduğu kabul edilerek elde edilen bu iki denklemin ortak çözümündenFLRW uzayzamanında rölativistik Burgers denklemi elde edildi. Bütün rölativistikdenklemlerde olduğu gibi, söz konusu denklemin de özel bir durumu kullanılarakdenklemin rölativistik olmayan durumuna yani klasik Burgers denklemine ulaşıldı vedaha önceki çalışmalardan farklı olarak, FLRW uzayzamanında Burgers denklemineait, uzay koordinatına bağlı olmayan çözümler elde edildi. FLRW uzayzamanındaBurgers denkleminin uzay koordinatına bağlı olmayan çözümlerinin bulunması, buçalışmayı diğer uzayzamalarında yapılan çalışmalardan ayıran orijinal bir özelliktir.Daha sonra, FLRW uzayzamanında Burgers denkleminin ve uzay koordinatına bağlıolmayan çözümlerinin limit özellikleri değerlendirildi. Nümerik deneylerde kullanılmaküzere, her bir uzay aralığı için Riemann problemini çözen Godunov tipi bir şemaoluşturuldu. Buna ek olarak, FLRW uzayzamanında Burgers denkleminin ve uzaykoordinatına bağlı olmayan çözümlerinin limit özelliklerini detaylı olarak incelemeküzere 'well-balans' Godunov tipi şemalar oluşturuldu. Bu modelin nümerik şemalarıiçin sonlu hacim metodlar kullanılarak kıvrık uzayzamanlarında [2], [37] ve [38]'deformalize edilen şemalar geliştirildi. Bu şemaların, rölativistik Burgers denklemininşok dalgaları barındıran sürekli olmayan çözümlerini içerdiği gösterildi. Ayrıca nümerikhesaplamalar neticesinde, önerilen şemaların yakınsadığı ve uzay koordinatınabağlı olmayan çözümleri koruduğu gözlemlendi.