ABSTRACT EXTREMAL POLYNOMIALS AND THEIR APPROXIMATION PROPERTIES Burçin OKTAY Balıkesir University, Institue of Science, Department of Mathematics (M.Sc. Thesis / Supervisor : Prof. Dr. Daniyal M. tsrafilov ) Bahkesir-Turkey, 2003 This work consists of three chapters. In the first chapter, basic definitions and theorems which are used in the following chapters are given. After that, some functional spaces in which the approximation is investigated and the best approximant numbers in these spaces are defined. Since in the following chapters the approximation on the domains with quasiconformal boundary is investigated, at the final part of the chapter the necessary information about the quasiconformal mappings and curves are also given. In the second chapter, an important subspace of the Lebesgue spaces called the Bergman space is investigated. Here at first, the Bergman spaces are defined and some properties of these spaces are studied. Later, the Bergman kernel function which places an important role in the Bergman spaces is defined and the relations between this function and conformal mappings are considered. In the final chapter, the classes of Bieberbach polynomials, which are constructed as the solution of an extremal problem, are defined and then, in the closed domains the approximation rate of these polynomials to the Riemann conformal mapping is investigated. This approximation is important for approximately construction of the conformal mappings whose analytical expression is not simply obtained. KEY WORDS : functional spaces / the best approximant numbers / quasiconformal curves / Lebesgue spaces / Bergman spaces / Bergman kernel function / Riemann conformal mapping / Bieberbach polynomials. m.

ÖZET EKSTREMAL POLİNOMLAR VE ONLARIN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Burçin OKTAY Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı ( Yüksek Lisans Tezi / Tez Danışmanı: Prof.Dr. Daniyal M. İsrafilov ) Balıkesir, 2003 Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, önce ilerideki bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar ve teoremler verilmiş, daha sonra yaklaşımın incelendiği bazı fonksiyonel uzaylar ve bu uzaylardaki en iyi yaklaşım sayıları tammlanmıştır. Bölümün son kısmında ise ileride kvazikonform sınırlı bölgeler üzerinde yaklaşım değerlendirileceği için kvazikonform dönüşümler ve eğriler hakkında gereken bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, Lebesgue uzaylarının özel bir şekli olan Bergman Uzayları incelenmiştir. İlk önce Bergman uzayı tanımlanmış ve onun bazı özellikleri araştırılmıştır. Daha sonra Bergman uzaylarında önemli bir fonksiyon olan Bergman çekirdek fonksiyonu tanımlanarak, bu fonksiyon ile konform dönüşümler arasındaki bağıntılar verilmiştir. Son bölümde ise, Bergman uzaylarında bir ekstremal problemin çözümü sonucu oluşturulan Bieberbach polinomları sınıfı tanımlanmış, daha sonra Bieberbach polinomlarının kapalı bölgelerde Riemann konform dönüşümüne yaklaşım hızı değerlendirilmiştir. Bu yaklaşım özellikle analitik ifadesi kolaylıkla bulunamayan konform dönüşümlerin pratik inşaası bakımından da önem taşımaktadır. ANAHTAR SÖZCÜKLER: fonksiyonel uzay / en iyi yaklaşım sayıları / kvazikonform eğriler / Lebesgue uzayları / Bergman uzayı / Bergman çekirdek fonksiyonu / Riemann konform dönüşüm / Bieberbach polinomları ıı.