This thesis presents the consistency, stability and convergence analysis of an operatorsplitting method, namely the iterative operator splitting method, using various approachesfor parabolic partial differential equations. The idea of the method is based first on splitting the complex problems into simpler equations. Then, each sub-problem is combined with iterative schemes and efficiently solved with suitable integrators. The analyses are based on the type of the operators of the problems. When the operators are bounded, the consistency is proved in two ways: first from derived explicit local error bounds and the second using the Taylor series expansion after combining iterative schemes with midpoint rule. As for the unbounded operators, since the Taylor series expansion is no longer valid, the consistency is derived using C0 semigroup theory. The stability is presented by constructing stability functions for each iterative schemes when the operators are bounded. For the unbounded, two stability analyses are offered: first one uses the continuous Fourier transform and the second uses semigroup theory. Lax-Richtmyer equivalence theorem and Lady Windermere's fan argument which combine the stability and consistency are proposed for the convergence. In the computational part, the method is applied to three linear parabolic PDEs and to Korteweg-de Vries equation. These three equations are capillary formation model in tumor angiogenesis, solute transportproblem and heat equation. Finally, numerical results are presented to illustrate thehigh accuracy and efficiency of the method relative to other classical methods. Thesenumerical results align with the obtained theoretical results.

Bu tezde, bir operatör ayırma metodu olan tekrarlayan operatör ayırma metodununtutarlılık, kararlılık ve yakınsama analizleri, farklı yaklaşımlarla parabolik kısmidiferansiyel denklemler için incelenmektedir. Metot karmaşık problemleri basit denklemlereayırma ilkesine dayanır. Her alt problem tekrarlayan algoritmayla birleştirilip, elde edilen basit denklemler etkili bir şekilde uygun metotlarla çözülür. Analizler, ele aldığımız problemin operatörünün durumuna göre farkılılık göstermektedir. Operatörler sınırlı olduğunda metodun tutarlılığı iki yöntemle incelenmektedir: İlki açık yerel hatasınırları oluşturarak ve ikincisi ise tekrarlayan şemayı zamanda ortanokta metoduyla birleştirdikten sonra Taylor seriyi kullanarak. Sınırsız operatöre sahip olma durumunda, Taylor serisini kullanamayacağımızdan, tutarlılık analizinde C0 yarıgrup özellikleri kullanılmaktadır. Sınırlı operatörler için kararlılık, her tekrarlayan şema için kararlılık fonksiyonları oluşturarak gösterilmektedir. Sınırsız operatöre sahip olma durumundaki kararlılık için ise iki yöntem sunulur: İlki sürekli Fourier dönüşümü ve ikincisi C0 yarıgrup yöntemi. Yakınsaklık analizinde, kararlılık ve tutarlılığın birleştirilmesi ilkesine dayanan Lax-Richtmyer denklik teoremi ve Lady Windermere tezi kullanılmaktadır. Sayısal kısımda, tekrarlayan ayırma metodu üç liner parabolik kısmi diferansiyel denkleme ve bir boyutlu liner olmayan Korteweg-de Vries denklemine uygulanır. Bu üç denklem: Tümörlü hücrede kan damarları ağı oluşum probleminde kılcal damar oluşum modeli, çözününen madde taşıma problemi ve iki boyutlu ısı denklemidir. Son olarak, önerilen metodun iyi bir performansa sahip olduğu göstermek için sayısal sonuçlar sunulur. Bu sonuçlar teorik sonuçlarla uyuşur.