In this thesis, Nikiforov-Uvarov NU method which is used to solve second order linear differential equations, is studied. A particular solution of Heun equation which is encountered by physicists in many fields, is obtained by the NU method.The NU method is based on reducing the differential equation to a generalized hypergoemetric-type differential equation. In this context, the NU method is succeed only differential equations which have at most three singular points. In order to extend the range of equations which are solvable with the NU method, the boundary conditions of the method are changed and its extended form is obtained. It is presented that eigenvalue and eigenfunction solutions of Heun equation and its three confluent forms are attained by the extended NU method.The eigenstates of a physical system are determined from the solutions of the Schrödinger equation. The NU method can be used in order to solve Schrödinger equation for some given potential functions. In the remaining part of this thesis, it is searched whether the validity of the achievement of NU method in the integer calculus is conserved in the non-integer calculus. For this purpose, fractional NU method is derived by means of `conformable fractional derivative` definition and three different physical applications are handled in order to present the accuracy of this fractional method.

Bu tez çalışmasında ikinci dereceden lineer diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılan analitik yöntemlerden biri olan Nikiforov-Uvarov (NU) yöntemi çalışıldı. Bu yöntem ile fizikçilerin birçok alanda karşılaştığı Heun denkleminin özel bir çözümü elde edildi.NU yönteminin temeli, çözülecek diferansiyel denklemin genelleştirilmiş bir denkleme indirgenebilmesine dayanır ve en genel ifade ile bu yöntemle en fazla üç tane tekil noktaya sahip olan diferansiyel denklemler çözülebilir. Bu çözülebilir denklemlerin kapsamını genişletmek amacıyla NU yönteminin genişletilmiş bir formu türetildi. Elde edilen bu yöntem ile Heun denklemi ve üç önemli konfluent formunun özdeğer ve özfonksiyon çözümleri analitik olarak elde edildi. Fiziksel bir sistemin özdurumlarını veren Schrödinger denklemi belirli potansiyel fonksiyonları için NU yöntemi ile analitik olarak çözülebilmektedir. Tezin kalan kısmında NU yönteminin tam sayı matematiğindeki başarısının kesirsel matematikte de geçerli olup olmadığı araştırıldı. Bunun için `konformal kesirsel türev` tanımı kullanılarak NU yönteminin kesirsel formu türetildi. Elde edilen yöntemin doğruluğunu göstermek için sonuçları tam sayı matematiğindeki bilinen sonuçlara indirgenebilen üç farklı fiziksel problem incelendi.