The problem of achieving a common value in a distributed information sharing context, referred to as distributed consensus or agreement, is an important topic that has drawn significant research attention of late. Consensus algorithms find applications in many areas including network clock synchronization, sensor fusion and load balancing where achieving consensus as fast as possible is important. In this dissertation, we study the analysis and optimization of convergence rate of averaging based distributed consensus algorithms evolving on graphs. By relating the convergence speed of the algorithm to the mixing rate of a Markov chain, we propose two semi-definite programming (SDP) methods of assigning transition probabilities to a Markov chain in order to optimize its mixing rate. In the first SDP formulation, there is a single transition probability parameter to be optimized (the holding probability of vertices) which leads to easier and faster computation as opposed to the more general reversible Markov chain formulation corresponding to a stationary distribution that is proportional to the degree of vertices. By deriving exact analytical results, it is shown that both the single parameter and the degree proportional reversible fastest mixing Markov chain formulations yield better results than the symmetric SDP formulation for a path and some well-known edge-transitive and orbit graphs. The convergence rate of the averaging based distributed consensus algorithm is also analyzed for networks where delay exists in data receptions, which is unavoidable in practice. After introducing the delayed version of the consensus algorithm, it is analytically shown that bounded non-uniform delay does not adversely affect its convergence rate for directed acyclic graphs.

Dağıtık onaylaşım ya da anlaşma olarak anılan, dağıtık bilgi bağlamında ortak bir değere ulaşma problemi, son zamanlarda kayda değer araştırma ilgisi çekmiş önemli bir konudur. Onaylaşım algoritmaları, onaylaşıma mümkün olabildiğince en hızlı şekilde ulaşılmasının önemli olduğu, ağlardaki saat eş zamanlaması, algılayıcı tümleştirmesi, yük dengelemesi gibi birçok uygulamada kullanılmaktadır. Bu tezde, çizgeler üzerinde tanımlanan ortalama tabanlı dağıtık onaylaşım algoritmalarının yakınsama hızı analizi ve en iyilemesi konusunda çalışılmıştır. Algoritmanın yakınsama hızı Markov zincirlerinin karışım hızı ile ilişkilendirilerek, bir Markov zincirine geçiş olasılıklarını atayarak karışım hızını en iyilemeyi amaçlayan iki Yarı-Tanımlı Programlama (YTP) yöntemi önerilmiştir. İlk YTP formülasyonunda, en iyilenen tek bir geçiş olasılığı parametresi (köşelerde kalma olasılığı) vardır ve bu, köşe dereceleriyle orantılı bir kalıcı dağılıma karşılık gelen daha genel tersinir Markov zinciri formülasyonuna nazaran daha kolay ve hızlı hesaplama sağlar. Kesin çözümler elde edilerek, hem tek parametreli hem de dereceyle oransal tersinir en hızlı karışan Markov zincirlerinin bazı tanınmış kenar geçişli ve yörünge çizgeleri için bakışımlı YTP formülasyonundan daha iyi sonuçlar sağladığı gösterilmiştir. Ortalama tabanlı dağıtık onaylaşım algoritmalarının yakınsama hızı, pratikte kaçınılmaz olan veri alışlarında gecikmenin olduğu ağlar için de analiz edilmiştir. Onaylaşım algoritmasının gecikmeli sürümünün tanıtılmasından sonra, sınırlandırılmış bir örnek olmayan gecikmenin yönlendirilmiş çevrimsiz çizgeler için yakınsama hızını olumsuz etkilemediği analitik olarak gösterilmiştir.