Fractional calculus is defined as the extension of integer order derivatives and integrals to arbitrary order. Fractional operators give the opportunity to model the reality of the problem for many real-world problems, for this reason, they are used in applied mathematics, science and engineering. The most commonly used operators are Riemann-Liouville and Caputo fractional derivative operators. Although these fractional derivatives have the advantage of modeling problems, they often cause difficulties in finding analytical solutions since they are defined by the kernel function in the singular structure. In addition, it is known that these derivatives have some weaknesses in the modeling of processes that comply with the law of exponential function in nature.By year of 2015, two derivative definitions, Caputo-Fabrizio and Atangana-Baleanu, have been put forward. These derivatives have a non-singular exponential type kernel, therefore, the related derivatives eliminate the deficiencies in the modeling process and enables analytical solutions to many problems.Horizontal transport of a substance is referred to as advection and diffuse transport is referred to as diffusion. In a transport event, if the advection and diffusion affect the substance, the modeling of the problem is expressed by the advection-diffusion equation. Many transport phenomena, such as groundwater flow, diffusion of chemically reacted liquid in sea water, polluting the atmosphere by gases released into the air, heat and mass transfers in porous media, can be expressed by advection-diffusion equation.In this study, fundamental solutions of advection-diffusion equation with Atangana-Baleanu derivative under certain initial-boundary values are examined. For this reason, Laplace and Fourier integral transformation techniques are used and fundamental solutions in terms of one or two parameter Mittag-Leffler functions are obtained. In addition, MAPLE program is used for graphing and the effects of fractional order and drift velocity parameter are interpreted.

Kesirli analiz tam sayı mertebeli türev ve integrallerin, keyfi mertebeye genişletilmesi olarak tanımlanmaktadır. Kesirli operatörler, gerçek hayatta karşılaşılabilen birçok problem için problemin gerçekliğine en yakın modellenme olanağı verdiklerinden dolayı uygulamalı matematik, fen ve mühendislik alanlarında kullanılmaktadır. En yaygın kullanılan operatörler Riemann-Liouville ve Caputo kesirli türev operatörleri olarak ifade edilebilmektedir. Bu kesirli türevler, problemlerin modellenmesinde avantaj sahibi olmalarına rağmen, singüler yapıda çekirdek fonksiyonu ile tanımlandıklarından çoğu zaman analitik çözümlerin bulunmasında zorluklara neden olmaktadır. Bu duruma ek olarak bu türevlerin, doğadaki üstel fonksiyon yasasına uygun davranan süreçlerin modellenmesinde, bazı zayıflıkları olduğu bilinmektedir. 2015 yılı itibariyle, Caputo-Fabrizio ve Atangana-Baleanu olmak üzere iki türev tanımı ortaya konmuştur. Bu türevler, singüler olmayan üstel tipten çekirdeğe sahiptir. Dolayısıyla ilgili türevler modelleme sürecindeki eksiklikleri gidermekte ve pek çok problemin analitik çözümlerine ulaşmasına imkân vermektedir. Bu sebeple uygulama alanları günden güne artmaktadır.Bir maddenin yatay olarak taşınması adveksiyon, yayılarak taşınması ise difüzyon olarak ifade edilmektedir. Bir taşınım olayında, adveksiyon ve difüzyonun maddeye etki etmesi durumunda, problemin modellenmesi adveksiyon-difüzyon denklemiyle ifade edilmektedir. Yer altı suyunun akışı, deniz suyunda kimyasal reaksiyona giren sıvının yayılması, havaya salınan gazların atmosferi kirletmesi, gözenekli ortamdaki ısı ve kütle transferleri gibi birçok taşınım olayı adveksiyon-difüzyon denklemiyle ifade edilebilmektedir.Bu çalışmada, Atangana-Baleanu türevli adveksiyon-difüzyon denkleminin belli başlangıç-sınır değerleri için temel çözümleri incelenmektedir. Bunun için Laplace ve Fourier integral dönüşüm teknikleri kullanılmakta ve bir veya iki parametreli Mittag-Leffler fonksiyonları cinsinden temel çözümler elde edilmektedir. Ayrıca, grafik çizimi için MAPLE programı kullanılıp kesirli mertebenin ve sürüklenme hızı parametresinin etkileri yorumlanmaktadır.