In this study, I articulate how a prospective secondary mathematics teacher reconstructs complex numbers upon the set of real numbers in the context of the solution sets of quadratic equations. Previous research has indicated that once asked the meaning of x and y in the Cartesian form of a complex number which is formally defined as x+iy where x and y are real numbers, both students and teachers were able to state that x and y are real numbers, yet considered them separately rather than being components of a single entity. Thus, the question arises as to what x and y refer to algebraically and geometrically; why x and y have to be real numbers and what it means to be an element of the set of complex numbers. This study explicates a prospective secondary mathematics teacher's answers to these questions through the articulation of the participant's quantitative reasoning by considering Sfard's (1991) theory on the dual nature of the mathematical conceptions. With this account, I intend to contribute to mathematics education by providing evidence on how the development of the elements of complex numbers, which is through shrinking/stretching of the distance(s) between the roots and the x-coordinate of the vertex of any quadratic functions' graph, affords conceptualizing any complex number as a single entity in a well-defined set rather than only an algebraic prescription of certain operations. As the result of the instructional sequence in this study, the participant presents this well-defined set as the set consisting of the roots of quadratic equations with real coefficients. This reconstruction of complex numbers regarding the algebraic and geometric aspects of the quadratic equation's roots also explained why quadratic equations have to have conjugate roots once they have at least one complex root.

Bu çalışmanın amacı bir ortaöğretim matematik öğretmeni adayının gerçek katsayılı ikinci dereceden denklemlerin köklerini çalışırken karmaşık sayıları gerçek sayılarkğmesi üzerine nasıl kurduğunu incelemektir. x, y gerçek sayılar ve i=√−1 olmak üzere matematiksel olarak x+iy şeklinde tanımlanan karmaşık sayıların kartezyen formundaki x ve y'nin anlamı sorulduğunda, geçmiş çalışmalarda hem öğrenciler hem öğretmenler x ve y'nin gerçek sayılar olduğunu belirtmişler ancak x+iy'yi tek bir çokluk olarak değil ayrı iki çokluk olarak ifade etmişlerdir. Bu nedenle kartezyen formdaki x ve y'nin cebirsel ve geometrik olarak neye karşılık geldiği, neden gerçek sayılar olması gerektiği ve x+iy'nin karmaşık sayılar kümesinin bir elemanı olmasının ne anlama geldiği soruları ortaya çıkmıştır. Bu çalışma, bir ortaöğretim matematik öğretmeni adayının bu sorulara cevaplarındaki nicel akıl yürütmesini Sfard'ın(1991) matematiksel kavramların ikili yapısı teorisini kullanarak incelemiştir. Bu bağlamda, bu çalışma ikinci dereceden denklemlerin grafiğindeki tepe noktasının x koordinatı ve denklemin kökleri arasındaki uzaklığın daralıp genişlemesi üzerinden karmaşık sayılar kümesinin elemanlarının nasıl ortaya çıktığına dair kanıtlar sunmuştur. Dolayısıyla karmaşık sayıların sadece cebirsel islemler sonucu oluşmadığını ve iyi tanımlanmış bir kümede tek bir çokluk olarak var olduğunu kavramsallaştırarak matematik eğitimine katkıda bulunmuştur. Çalışmadaki öğretim sonucunda katılımcı bu iyi tanımlanmış kümeyi gerçek katsayıları olan ikinci dereceden denklemin köklerinin oluşturduğu küme olarak tanımlamıştır. İkinci dereceden denklem köklerinin cebirsel ve geometriksel incelenerek karmaşık sayıların yeniden inşa edilmesi, en az bir karmaşık sayı kök olduğunda diğer köklerin neden eşlenik oldugu sorusunu da cevaplamıştır.