In this thesis, the structural bifurcations of divergence-free vector fields are studied on a two dimensional compact manifold with some symmetry conditions. The degenerate flow structures near simple and non-simple degenerate singular point have been classified by using the homotopy invariance of the index. It is shown that for a one parameter family of divergence-free vector field , structural bifurcation occurs at if has a degenerate singular point and . In this thesis, the degenerate flow patterns and their bifurcations are investigated to develop a geometric theory for the Lagrangian dynamics of 2−D incompressible flows.This thesis consist of four chapters. In the first chapter, some basic definitions, lemmas and theorems are given about the structural classification and structural bifurcation of the divergence free vector field. In the second chapter, the degenerate flow structures of the orbits of a divergence free vector field near a simple degenerate point are classified with respect to symmetric about y− axis and anti-symmetric about the origin. Also, it is shown the transitions in the topological structures of these degenerate flow structures. In the third chapter, we classify the degenerate flow structure near a non-simple degenerate point when the orbits of a divergence free vector field are symmetric about y− axis and double-symmetric about the origin. In the same way, the bifurcated singular points of these degenerate flow structures are obtained. Finally, in the last chapter, the results obtained in the previous sections have been evaluated and some problems have been suggested to work on this issue.

Bu tezde bazı simetrik koşullar altında, divergens-serbest vektör alanının iki boyutlu kompakt bir manifoldu üzerindeki yapısal çatallanması çalışıldı. İndeksin homotopy değişmezliği kullanılarak basit dejenere ve basit olmayan dejenere singüler nokta civarındaki dejenere akış yapıları karakterize edildi. Tek parametreli bir divergens-serbest vektör alanı için, eğer , dejenere singüler bir noktasına sahip ve ise yapısal çatallanmaların meydana geleceği gösterildi. Bu tezde iki boyutlu sıkıştırılamaz akışların Lagrange dinamiği için dejenere akış yapıları ve bunların çatallanmaları incelenerek geometrik bir teori geliştirildi.Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, divergens-serbest vektör alanının yapısal sınıflandırması ve yapısal çatallanması hakkında bazı temel tanım, lemma ve teoremler verildi. İkinci bölümde, bir divergens-serbest vektör alanının basit dejenere nokta civarındaki dejenere akış yapıları, yörüngelerin -eksenine ve orijine göre anti-simetrik olması durumlarında karakterize edildi. Ayrıca elde edilen bu dejenere akış yapılarının topolojik yapısındaki değişim gösterildi. Üçüncü bölümde, bir divergens-serbest vektör alanının yörüngelerinin -eksenine ve orijine göre çift-simetrik olması durumlarında basit olmayan dejenere nokta civarındaki dejenere akış yapıları karakterize edildi. Benzer şekilde, bu dejenere akış yapılarının çatallanmış singüler noktaları elde edildi. Son olarak dördüncü bölümde, önceki bölümlerde elde edilen sonuçlar değerlendirilmiş ve bu konu üzerine çalışılabilecek bazı problemler önerilmiştir.