The fractional derivative account is more than 300 years old, one of the most interesting topics in the mathematical world. The basis of the idea of the fractional derivative account dates back to 1695. Many mathematicians have been involved in this subject since the time the idea of fractional derivation emerged. For a long time only theoretical mathematicians have been involved in this topic, but it is possible to come across the work of applied mathematicians and scientists from various branches of science recently. Scientists working on fractional derivative calculations came out of the classical definition of the derivative and developed it. Riemann, Grünwald, Letnikov, Liouville, Caputo, Euler, Abel, Fourier, Kobel, Erdelyi, Hadamard, Riesz and Laplace are major mathematicians contributing fractional derivatives.In this thesis study, it is aimed to investigate the general view of the fractional order and its usage areas in applied sciences.In the first part of this work, the introduction part is given and the appearance of the concept of fractional derivative is mentioned.In the second part, important functions and transformations used in fractional derivative calculations are given.In the third part, some fractional derivative definitions, fractional derivative properties and the derivation of Grünwald-Letnikov and Riemann-Liouville fractional derivatives are discussed.In the fourth chapter, practical fractional derivation methods of some special functions are mentioned. In addition, examples of fractional derivative definitions are given.In the fifth section, differential equations of fractional order are given. The solution methods of these equations are mentioned. Three different solution methods, including the Rezidual power series, Laplace Transformation and Adomian decomposition, are discussed and examples of these methods are given.In the sixth chapter, fractional derivatives are applied to other fields of science such as biology, physics, engineering.In the seventh section, the results of this thesis study are given.Keywords: Fractional derivatives, Fractional order differential equations, Fractional calculations, Grünwald-Letnikov Riemann-Liouville, Caputo fractional derivatives.

Kesirli türev hesabı 300 yıldan fazla süredir, matematik dünyasının ilgi çekici konularından biri olmuştur. Kesirli türev hesabı fikrinin temelleri 1695 yılına dayanmaktadır. Kesirli türev fikrinin ortaya çıktığı zamandan itibaren birçok matematikçi bu konuyla ilgili çalışmalarda bulunmuşlardır. Uzun süre bu konuyla ilgili sadece teorik matematikçiler çalışmalarda bulunurken, son zamanlarda uygulamalı matematikçilerin ve çeşitli bilim dallarındaki bilim insanlarının bu konudaki çalışmalarına rastlamak mümkündür. Kesirli türev hesabıyla ilgili çalışmalar yapan bilim adamları, türevin klasik tanımından yola çıkıp, onu geliştirmişlerdir. Riemann,Grünwald,Letnikov, Liouville,Caputo,Euler, Abel, Fourier,Kobel, Erdelyi, Hadamard, Riesz ve Laplace kesirli türeve katkı sağlayan başlıca matematikçilerdir.Bu tez çalışmasında, kesirli mertebeden türeve genel bir bakış ve onun uygulamalı bilimlerdeki kullanım alanlarını araştırmak amaçlanmıştır.Yapılan bu çalışmanın ilk bölümünde, giriş kısmına yer verilmiş, kesirli türev kavramının ortaya çıkışına değinilmiştir. İkinci bölümde kesirli türev hesabında kullanılan önemli fonksiyonlara ve dönüşümlere yer verilmiştir.Üçüncü bölümde bazı kesirli türev tanımları, kesirli türev özellikleri ve Grünwald-Letnikov ve Riemann-Liouville kesirli türevlerinin elde edilişi ele alınmıştır.Dördüncü bölümde bazı özel fonksiyonların pratik kesirli türev alma yöntemlerine değinilmiştir. Ayrıca, kesirli türev tanımlarıyla ilgili örneklere yer verilmiştir.Beşinci bölümde, kesirli mertebeden diferansiyel denklemlere yer verilmiştir. Bu denklemlerin çözüm metotlarından bahsedilmiştir. Rezidual kuvvet serisi, Laplace Dönüşümü ve Adomian ayrıştırma olmak üzere, üç farklı çözüm metodu ele alınmış ve bu metotların örneklerine yer verilmiştir.Altıncı bölümde kesirli türevlerin biyoloji, fizik, mühendislik gibi diğer bilim dallarındaki uygulama alanlarına yer verilmiştir.Yedinci bölümde ise yapılan bu tez çalışmasındaki sonuç ve önerilere yer verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Kesir mertebeden türev, kesir mertebeden diferansiyel denklemler, kesirli hesap, Grünwald-Letnikov Riemann-Liouville, Caputo kesirli türevleri.