Decision making under risk has always been a very important issue in portfolio selection for many years. There are several theories which try to explain the attitude of the decision maker under risk. Utility theory is one of the most important and widely used theories in portfolio selection. However, Allais and Ellsberg paradoxes, for example, show that utility theory does not exactly represent investors' behavior when they are faced with uncertainty. As a result, Prospect Theory proposed by Kahneman and Tversky in the 1970s has become very popular in recent years. The main features of prospect theory suggest that investors make decisions based on change of wealth with respect to a reference point rather than the total wealth, that preferences are S-shaped rather than uniformly concave, and that probabilities are subjectively distorted. The main purpose of our research is to investigate the optimal portfolio selection problem for an investor who behaves according to Cumulative Prospect Theory (CPT).Firstly, we formulate and study the single-period portfolio selection problem under CPT featuring a reference point in wealth, piecewise value functions with loss aversion, and probability weighting functions. We focus on a class of value functions that involve combinations of linear, exponential and logarithmic functions. We introduce a new measure of loss-aversion for small payoffs, called the small loss-aversion degree (SLAD), and show that it plays a critical role on the investment decisions of the investors. We explicitly derive the optimal solutions for single risky asset cases in which the reference point is the risk-free return and in which it is not. For multiple risky assets which follow an elliptical distribution, we obtain the explicit solution of the problem defined by the piecewise linear-exponential value function for the risk-free reference point.Secondly, we formulate and study the single-period portfolio selection problem under CPT using the piecewise exponential (PE) value function. The reference point coincides with the risk-free return and the probability weighting functions are ignored. Under the assumption of normally distributed returns of multiple risky assets, we obtain the optimal portfolio explicitly and provide several characterizations. In particular, we investigate the connection of the optimal PE portfolio to those within the mean-variance framework of Markowitz. As a special case, we analyze the single risky asset model and show that the objective function is quasi-concave.Thirdly, we formulate and study a multi-period portfolio selection problem under CPT featuring a reference point in wealth and a piecewise power value function with loss-aversion. The main feature of the model is that returns of the risky assets and the value function all depend on an external stochastic process that represents the regime-switching market. The states of the market describe the prevailing economic, financial, social, political and other conditions that affect the deterministic and probabilistic parameters of the model. We suppose that the random changes in the market states are depicted by a Markov chain. Dynamic programming is used to derive the optimal policies analytically. We first analyze a model with a single risky asset, and identify the well-posedness condition to obtain the optimal portfolio explicitly. We then consider the model with multiple risky assets that follow the elliptical distribution, and identify a threshold for the well-posedness of the problem and obtain an explicit solutions of the portfolio optimization problem.Finally, we identify the optimal portfolios and analyze the structure of the objective functions in a number of numerical illustrations. Also, we perform sensitivity analysis on the optimal portfolios with respect to parameters of the value function and the probability weighting function.

Risk altında karar verme, portföy seçiminde uzun yıllar çok önemli bir yer edinmiştir. Karar vericinin risk altında olan tutumunu açıklamaya çalışan birçok teori geliştirilmiştir. Fayda kuramı, portföy seçiminde en önemli ve yaygın olarak kullanılan teorilerin başında gelmektedir. Bununla birlikte, örneğin Allais ve Ellsberg paradoksları, fayda teorisinin belirsizlikle karşı karşıya kaldıklarında yatırımcıların davranışlarını tam olarak temsil etmediğini göstermiştir. Sonuç olarak, 1970'lerde Kahneman ve Tversky tarafından önerilen Ümit Teorisi son yıllarda çok popüler hale gelmiştir. Bu teorinin temel özellikleri, yatırımcıların, toplam varlığın değerinden ziyade toplam varlığın bir referans noktasına göre değişimine dayalı karar verdiklerini, tercihlerin düzgün içbükey olmaktan çok S-şekilli olduğunu ve olasılıkların çarpıtılmış olduğunu göstermektedir. Araştırmamızın temel amacı, Kümülatif Ümit Teorisine göre davranan bir yatırımcı için portföy seçim problemini araştırmaktır.İlk olarak, varlık için bir referans noktası, kayıptan kaçınan parçalı değer fonksiyonları ve olasılık ağırlıklandırma fonksiyonları içeren Kümülatif Ümit Teorisi altında tek dönemli portföy seçimi problemi formüle edilip incelenmiştir. Doğrusal, üstel ve logaritmik fonksiyonların kombinasyonlarını içeren bir değer fonksiyonu sınıfına odaklanılmıştır. Küçük kazançlar için, küçük kayıptan kaçınma derecesi adı verilen yeni bir kayıptan kaçınma ölçüsü sunulup bu ölçünün yatırımcıların yatırım kararlarında kritik bir rol oynadığı gösterilmiştir. Referans noktasının risksiz getiri olduğu ve olmadığı tek riskli varlık içeren modeller için en iyi çözümler açıkça ortaya konulmuştur. Eliptik bir dağılımı izleyen çoklu riskli varlık içeren ve referans noktasının risksiz getiri olduğu durum için, parçalı doğrusal-üstel değer fonksiyonu ile tanımlanan problemin analitik çözümü elde edilmiştir.İkinci olarak, Kümülatif Ümit Teorisi altında parçalı üstel değer fonksiyonu kullanılarak tek dönem portföy seçimi problemi formüle edilip incelenmiştir. Referans noktası risksiz getiri olarak alınmış, olasılık ağırlıklandırma fonksiyonları göz ardı edilmiştir. Çoklu riskli varlığın normal dağılımlı getirisi olduğu varsayımı altında en iyi portföy açıkça elde edilmiş ve birçok karakterizasyon sağlanmıştır. Özellikle, parçalı üstel değer fonksiyonu ile tanımlanan problemin en iyi portföyünün Markowitz'in ortalama-varyans çerçevesindeki en iyi portföyü ile olan bağlantısı incelenmiştir. Özel bir durum olarak, tek riskli varlık modeli analiz edilip amaç fonksiyonun yarı-içbükey olduğu gösterilmiştir.Üçüncü olarak, varlık için bir referans noktası ve kayıptan kaçınan parçalı değer fonksiyonları içeren Kümülatif Ümit Teorisi altında çok dönemli bir portföy seçimi problemi formüle edilip incelenmiştir. Modelin ana özelliği, riskli varlıkların getirilerinin ve değer fonksiyonunun, rejim değiştiren piyasayı temsil eden harici bir stokastik sürece bağlı olmasıdır. Piyasanın bulunduğu durum, modelin deterministik ve olasılık parametrelerini etkileyen mevcut ekonomik, finansal, sosyal, politik ve diğer koşulları açıklamaktadır. Piyasanın durumundaki rastgele değişikliklerin bir Markov zinciri tarafından tasvir edildiği varsayılmıştır. En iyi yatırım politikalarını analitik olarak elde etmek için dinamik programlama kullanılmıştır. Öncelikle tek bir riskli varlığa sahip bir model analiz edilip, en iyi portföyü açıkça elde etmek için iyi-durumluluk koşulu belirlenmiştir. Daha sonra, eliptik dağılımı izleyen çoklu riskli varlık ile tanımlanmış model ele alınmış, problemin iyi-durumluluğu için bir eşik değer belirlenmiş ve portföy eniyileme probleminin analitik çözümleri elde edilmiştir. Son olarak, bir dizi sayısal örneklemede en iyi portföyler bulunmuş ve amaç fonksiyonlarının yapısı analiz edilmiştir. Ayrıca, değer fonksiyonu ve olasılık ağırlıklandırma fonksiyonunun parametrelerine göre eniyi portföyler üzerinde duyarlılık analizi yapılmıştır.