The localization of strongly coupled ultra cold bosonic atoms confined in a two dimensional magnetic trap is investigated via two different models of interparticle interactions, that are a logarithmic potential and a potential described by Bessel functions. An understanding towards the Abrikosov lattice formation by a finite number of vortices in Bose-Einstein Condensate have been developed by using various calculations, namely Hartree, Hartree-Fock and the variational methods. The ground state energies and the density profiles have been obtained for the systems of bosonic Rubidium atoms with their number ranging from two to nine.Physical properties of the condensate are analyzed by varying the strength of the interparticle interactions under an isotropic trap geometry. Therefore an obvious phase transition from Bose-Einstein Condensation to the fermion-like crystals is observed due to the broken symmetry causing from strong correlations between the atoms. The results exhibit that the variational method allows the localization of Wigner Molecules while Hartree-Fock approximation obtains the delocalization of a supermolecule. Also the use of logarithmic interaction potential crystallizes the bosons to different configuration than that of Coulombic interactions.The effects of anisotropic harmonical trap potential are also investigated for the crystalline structures. It has been shown that the bosonic atoms are driven from a two dimensional configuration to that of one dimensional, if the anisotropy parameter is small. In addition, the transition criterions between Bose-Einstein Condensate and Wigner Crystallization have been determined by developing an analytical method.

İki boyutlu bir manyetik tuzakta hapsedilmiş ve birbirleriyle güçlü etkileşme içerisinde olan aşırı soğuk bozonların lokalizasyonu, logaritmik ve Bessel fonksiyonları ile tanımlı iki farklı model kullanarak incelenmiştir. Bose-Einstein yoğuşmasında sonlu sayıdaki girdaplar ile Abrikosov örgülerini anlamaya yönelik, Hartree, Hartree-Fock ve varyasyonel yöntemleriyle ayrı hesaplamalar yapılmıştır. Sayısı 2 ile 9 arasında değişen bozonik Rubidyum atomlarından oluşmuş sistemin taban durum enerjileri ve yoğunluk profilleri elde edilmiştir.İzotropik tuzak altında, yoğuşmanın fiziksel özellikleri parçacıklar arasındaki etkileşme şiddeti değiştirilerek incelenmiştir. Böylelikle atomlar arasındaki güçlü etkileşmelerin sebep olduğu simetri kırılmaları nedeniyle, Bose-Einstein yoğuşmasından, fermiyonik kristal fazına geçiş açık bir şekilde görülmektedir. Sonuçlar, varyasyonel yöntemlerin Wigner Molekülü lokalizasyona, Hartree-Fock yaklaşımının bir süper molekülün delokalizasyonuna izin verdiği görülmüştür. Ek olarak, logaritmik etkileşme potansiyeli kullanımı ile kristalleşen bozonlar Coulombik etkileşmelere göre farklı kristalizasyon oluşturmaktadır.Anizotropik harmonik tuzak potansiyelinin etkileri, kristal yapılar için incelenmiştir. Anizotropi parametresinin azaltılması ile bozonik atomların iki boyutlu dağılımdan bir boyutlu dağılıma geçiş yaptığı görülmüştür. Ayrıca, Bose-Einstein yoğuşması ile Wigner kristalizasyonu arasındaki geçiş kriterleri analitik bir metot geliştirilerek belirlenmiştir.